求证:ln(n+1/n)大于(1/n+1)

Question

求证:ln(n+1/n) 大于 (1/n+1)

Answer 1

令x=1/n
那么
ln(n+1/n)=ln(1+x)
1/n+1=x/(x+1)
构造函数f(x)=ln(1+x)-x/(x+1)
只要证明f(x)在x>0时f(x)>0即可
f'(x)=1/(1+x)-1/(1+x)^2
=x/(1+x)^2
当x>0时f'(x)>0
所以f(x)在（0,正无穷）上单调增
又f(0)=0
所以f(x)>0,x属于（0,正无穷）
所以 ln(n+1/n) 大于 (1/n+1)