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求证：当n为正整数时,n∧3－n的值必是6的倍数.
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求证：当n为正整数时,n∧3－n的值必是6的倍数.
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答案和解析
n³－n
＝n(n²－1)
＝n(n＋1)(n－1)
n为正整数时,n(n＋1)(n－1)表示3个连续正整数的积
3个连续正整数中,至少有1个偶数
则,n(n＋1)(n－1)能被2整除
3个连续正整数中,一定有1个数是3的倍数
则,n(n＋1)(n－1)能被3整除
又,2和3的最小公倍数为6
则,n(n＋1)(n－1)能被6整除
所以,n³－n的值必是6的倍数
＝n(n²－1)
＝n(n＋1)(n－1)
n为正整数时,n(n＋1)(n－1)表示3个连续正整数的积
3个连续正整数中,至少有1个偶数
则,n(n＋1)(n－1)能被2整除
3个连续正整数中,一定有1个数是3的倍数
则,n(n＋1)(n－1)能被3整除
又,2和3的最小公倍数为6
则,n(n＋1)(n－1)能被6整除
所以,n³－n的值必是6的倍数
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