已知:A1=1,A(n+1)=1/An+An.求limAn/n其中n→∞

Question

已知:A1=1 ,A(n+1) = 1/An + An.求lim An/n 其中n→∞

Answer 1

这个数列An是趋向于正无穷的．理由如下：
首先An都是大于1的．再由A(n+1)-An=1/An>0可知,数列是单调增的．若An有上界,则An必有极限,不妨设其极限为a, 递归公式两边取极限得
a=1/a+a,于是1/a=0.这是不可能．所以An没有上界,且递增,所以An趋向于正无穷.
再由stone定理可知
lim(n-->∞)An/n=lim(n-->∞)[A(n+1)-An]/[n+1-n]=lim(n-->∞)1/An=0.
数列形式的stone定理:
当n-->∞时,An-->+∞,Bn-->+∞,lim(n-->∞)[A(n+1)-An]/[B(n+1)-Bn]存在,则必有
lim(n-->∞)An/Bn=lim(n-->∞)[A(n+1)-An]/[B(n+1)-Bn].