对正整数n，设xn是关于x的方程nx3+2x-n=0的实数根，记an=[（n+1）xn]（n=2，3…），（符号[x]表示不超过x的最大整数，如[-2.5]=-3，[5]=5），（1）求a3的值；（2）计算：12015（a2+a3+…+a2016）．

Question

对正整数n，设x_n是关于x的方程nx³+2x-n=0的实数根，记a_n=[（n+1）x_n]（n=2，3…），（符号[x]表示不超过x的最大整数，如[-2.5]=-3，[5]=5），
（1）求a₃的值；
（2）计算：(1)/(2015)（a₂+a₃+…+a₂₀₁₆）．

Answer 1

（1）设t=（n+1）x，则x=(t)/(n+1)，
∴nx³+2x-n=n(t3)/((n+1)3)+2(t)/(n+1)-n，记为g（t）=n(t3)/((n+1)3)+2(t)/(n+1)-n，n∈N，
当n≥2，则g（t）是增函数，
方程g（t）=0只有一个实根t_n． 
g（n+1）=2＞0，
g（n）=(n(1+n−n2))/((n+1)3)＜0，
∴n＜t_n＜n+1，
即n＜（n+1）x_n＜n+1，
∴a_n=[（n+1）x_n]=n，
∴a₃=3．
（2）由（1）可知，a_n=[（n+1）x_n]=n，
∴(1)/(2015)（a₂+a₃+…+a₂₀₁₆）=(1)/(2015)×((2+2016)×2015)/(2)=1008．