已知向量m=（1，3cosα），n=（1，4tanα），α∈(−π2，π2)，且m•n=5．（Ⅰ）求|m+n|；（Ⅱ）设向量m与n的夹角为β，求tan（α+β）的值．

Question

已知向量

m

=（1，3cosα），

n

=（1，4tanα），α∈(−(π)/(2)，   (π)/(2))，且

m

•

n

=5．
（Ⅰ） 求|

m

+

n

|；
（Ⅱ） 设向量

m

与

n

的夹角为β，求tan（α+β）的值．

Answer 1

（Ⅰ）由

m

=（1，3cosα），

n

=（1，4tanα），
则

m

•

n

=1+12cosαtanα=5，解得sinα＝(1)/(3)，
因为α∈(−(π)/(2)，   (π)/(2))，所以cosα＝(2√(2))/(3)，tanα＝(√(2))/(4)．
则

m

=（1，2√(2)），

n

=（1，√(2)）
则

m

+

n

=(2，3√(2))，
即有|

m

+

n

|=√(4+18)=√(22)；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

m

=（1，2√(2)），

n

=（1，√(2)），
则cosβ=cos＜

m

，

n

＞=(1+4)/(3√(3))=(5√(3))/(9)，
即有sinβ＝√(1−((5√(3))/(9))2)＝(√(6))/(9)，所以tanβ＝(√(2))/(5)，
所以tan(α+β)＝((√(2))/(4)+(√(2))/(5))/(1−(√(2))/(4)×(√(2))/(5))＝(√(2))/(2)．