（1）求函数y=x²-4x+3在区间[t,t+1]上的最小值.（2）已知函数f(x)=（负的2分之x²）+x在区间[m,n]上的值域是[3m,3n],求m,n的值.

Question

（1）求函数y=x²-4x+3在区间[t,t+1]上的最小值.
（2）已知函数f(x)=（负的2分之x²）+x在区间[m,n]上的值域是[3m,3n],求m,n的值.

Answer 1

（1）求函数y=x²-4x+3在区间[t,t+1]上的最小值.
y=(x-2)²-1；对称轴：x=2；顶点(2,-1)；零点：(1,0)和(3,0).
当1≦t≦2,2≦t+1≦3时,ymin=y(2)=-1；
当t3 时,ymin=y(t)=t²-4t+3.
（2）已知函数f(x)=-(1/2)x²+x,在区间[m,n]上的值域是[3m,3n],求m,n的值.
f(x)=-(1/2)(x²-2x)=-(1/2)[(x-1)²-1]=-(1/2)(x-1)²+1/2；
对称轴x=1；零点：(0,0)和(2,0);开口朝下.
①当m≦1≦n,即当对称轴在区间[m,n]内时,最大值3n=1/2,即n=3/2；
最小值3m=f(n)=-(1/2)n²+n=-(1/2)(9/4)+3/2=3/8,此时m=9/8；
或3m=f(m)=-(1/2)m²+m,即有m²+4m=m(m+4)=0,此时m=0或m=-4；
②当n1,即当对称轴在指定区间[m,n]的左侧时,最大值3n=f(m)=-(1/2)m²+m,即有
m²+6n-2m=0.(1)；最小值3m=f(n)=-(1/2)n²+n,即有n²+6m-2n=0.(2)
(1)-(2)得m²-n²+6(n-m)-2(m-n)=(m+n)(m-n)-6(m-n)-2(m-n)=(m+n)(m-n)-8(m-n)
=(m-n)(m+n-8)=0
因为m≠n,故必有m+n=8,即有n=8-m,代入(1)式得m²+6(8-m)-2m=m²-8m+48=0；
由于其判别式Δ=64-192=-12