设函数f（x）满足：①对任意实数m，n都有f（m+n）+f（m-n）=2f（m）f（n）；②对任意m∈R，有f（1+m）=f（1-m）；③f（x）不恒为0，且当x∈（0，1]时，f（x）＜1．（1）求f（0），f（1）的值；（2

Question

设函数f（x）满足：
①对任意实数m，n都有f（m+n）+f（m-n）=2f（m）f（n）；
②对任意m∈R，有f（1+m）=f（1-m）；
③f（x）不恒为0，且当x∈（0，1]时，f（x）＜1．
（1）求f（0），f（1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性，并给出你的证明；
（3）定义：“若存在非零常数T，使得对函数F（x）定义域中的任意一个x，均有F（x+T）=F（x），则称F（x）为以T为周期的周期函数”．试证明：函数f（x）为周期函数，并求出f((1)/(3))+f((2)/(3))+f((3)/(3))+…+f((2017)/(3))的值．

Answer 1

（1）由于f（x）不恒为0，故存在x₀，使f（x₀）≠0，令m=x₀，n=0，
则f（x₀）+f（x₀）=2f（x₀）f（0），
则f（0）=1．令m=n=1，则f（2）+f（0）=2f²（1），
又f（0）=f（2），则f²（1）=1，则f（1）=±1，
由已知，f（1）＜1，故f（1）=-1；
（2）令m=0，n=x，得，f（x）+f（-x）=2f（0）f（x）=2f（x），
即有f（-x）=f（x），即有f（x）为偶函数；
（3）由f（1+m）=f（1-m）得f（-x）=f（2+x），又f（x）为偶函数，
则f（x+2）=f（x），即f（x）以2为周期的周期函数，
令m=n=(1)/(3)，f（(2)/(3)）+f（0）=2f²（(1)/(3)），即f（(2)/(3)）+1=2f²（(1)/(3)），
再令m=(2)/(3)，n=(1)/(3)得，f（1）+f（(1)/(3)）=2f（(2)/(3)）f（(1)/(3)），即f（(1)/(3)）-1=2f（(2)/(3)）f（(1)/(3)）．
而f（(2)/(3)）＜1，解得，f（(1)/(3)）=(1)/(2)，f（(2)/(3)）=-(1)/(2)，由条件得，f（(1)/(3)）=f（(5)/(3)），f（(2)/(3)）=f（(4)/(3)），
故f（(1)/(3)）+f（(2)/(3)）+…+f（(6)/(3)）=0，f（x）以2为周期的周期函数，
则f((1)/(3))+f((2)/(3))+f((3)/(3))+…+f((2017)/(3))=336×0+f（(2017)/(3)）=f（(1)/(3)）=(1)/(2)．