我用v>表示矢量,v>=ve,v是标量,e是基矢.那么课本上的公式是怎么推出来的呢：a=dv>/dt=edv/dt+vde/dt我不太懂高数,

Question

我用v>表示矢量,v>=ve,v是标量,e是基矢.那么课本上的公式是怎么推出来的呢：a=dv>/dt=edv/dt+vde/dt
我不太懂高数,

Answer 1

（如果您的微积分基础不够,可以看后面几段的详细解释.）
多元函数全微分啊.
设定多元函数u=f(x,y),则u的全微分就是:fx(x,y)dx+fy(x,y)dy,也就是两个偏微分的合并.
则对于二元函数v>=ve来说,dv>=edv+vde（这里我使用您定义的符号了哦）
因为加速度a=dv>/dt,所以代入上一行的全微分式子得到a=dv>/dt=edv/dt+vde/dt
证毕.
以下是针对积分基础不够的同学的补充.
从几何意义上来说,我们平常用的最简单的函数形式,即单元的二维函数——一个自变量,一个随变量——的微分可以粗略定义为随变量y的极微小增量.不对,这么说不严谨.语法上严谨的说法应该是“无穷小增量”更好.
取函数图象的某一点,求这一点的微分.
作这一点的切线,记切线斜率为i.取自变量x的无穷小增量dx,则y的微分就是idx,两个乘起来.这个容易理解吧?如果不理解的话欢迎追问.
所以单元函数中y的微分实质就是导数乘以dx.
到了多元函数,自变量不止一个,这道题里涉及的就是最简单的三维多元函数——二元函数.
就像单元函数图象上无穷接近的两点之间的曲线段无穷接近直线段一样,二元函数（注意,图象是个二维的平面,而不是像单元函数一样是个一维直/曲线【段】）上无穷接近的三点（是“三”点,三点确定一个平面）也无穷接近一个欧几里得三角形,即平面三角形.这样,无穷接近的曲线和直线、曲面和平面之间的差异就无穷接近零,自然可以严格忽略.“严格”忽略.
仿照计算单元函数微分的方法,二元函数就是看这个平面三角形中随变量是怎么变化的.首先自变量x变化,引起随变量u变化——注意,这时候我们不考虑自变量y的变化——相应地得到u的增量du1=u'dx.这里的u实际上是偏微分,不过这里不细讲.现在,再考虑y的变化——这时候又不考虑x了——在原来的基础上u又有了因y引起的变化du2=u'dy.那x、y一起变化时,u变化多少呢?u总共的变化就是du=u'dx+u'dy,或者写成：
定义u=f(x,y),则du=fx(x,y)dx+fy(x,y)dy
其实这里有个隐含问题,如果您认真思考的话应该能发现：先计算x变化时u的增量,再在此基础上计算y变化时u的增量,那么如果函数图象是个曲面的话,第二个计算的增量会有偏差.但是因为我们取极限,所以其实是无穷接近平面图形,亦即偏差其实是无穷小,可以“严格”忽略.这一段现在不懂没关系,要画图并举函数例子才容易讲清楚.
f后面的x和y是下脚标,表示x或y的偏微分,也就是单独考虑x或y与u构成的曲线的微分,两个自变量的偏微分彼此间无关.
公式有了,du=fx(x,y)dx+fy(x,y)dy ,我们就可以实战了.
据您的图中的定义可得函数v>=ve,v>是随变量,v和e是自变量.
先求fv(v,e)dx,也就是求单元函数v>=ev的微分,因为这时候不考虑e的变化,e就是一个常量,求导数再乘以dx就得fv(v,e)dx=edx(因为ev的导数是e),
同理,fe(v,e)de=xde
两边加起来,dv>=fe(v,e)de+fv(v,e)dx=xde+edx
由a=dv/dt得,
a=dv/dt=vde/dt+edv/dt
就是那个式子.
我尽力把高数入门讲得简单明了,但没有图片还是挺难的.如果您认真思考,再自己画画图,应该能明白吧.这就是偏微分和全微分（单元函数就叫常微分）.
如果还有不懂,欢迎追问!我一定倾囊相授!