一条宽度为L的河，水流速度为V水，已知船在静水中的速度为V船，那么：（1）怎样渡河时间最短？（2）若V船＞V水，怎样渡河位移最小？（3）若V船＜V水，怎样渡河船漂下的距离最短？

Question

一条宽度为L的河，水流速度为V_水，已知船在静水中的速度为V_船，那么：
（1）怎样渡河时间最短？
（2）若V_船＞V_水，怎样渡河位移最小？
（3）若V_船＜V_水，怎样渡河船漂下的距离最短？

Answer 1

（1）如图所示．设船头斜向上游与河岸成任意角θ．这时船速在垂直与河岸方向的速度分量为V₁=V_船sinθ，渡河所用时间为t=(L)/(V1)=(L)/(V船sinθ)．可以看出：L、V_船一定时，t随sinθ增大而减小；当θ=90°时，sinθ=1（最大）．所以船头与河岸垂直时，渡河时间最小t_min=(L)/(V船)．
（2）如图所示，渡河的最小位移即河的宽度．为使船能直达对岸，船头应指向河的上游，并与河岸成一定角度θ．根据三角函数关系有：cosθ=(V水)/(V船)，
因为0≤cosθ≤1，所以只有在V_船＞V_水时，船才有可能垂直河岸渡河．
（3）如果V_水＞V_船，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，要使船漂下的航程最短，如图所示，设船头V_船与河岸成θ角，合速度v与河岸成α角．可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短，那么，在什么条件下α角越大呢？以V_水的矢尖为圆心，V_船为半径画圆，当v与圆相切时，α角最大．根据cosθ=(V水)/(V船)，
船头与河岸的夹角为θ=arccos(V水)/(V船)．船漂下的最短距离为x_min=（V_水-V_船cosθ）(L)/(V船sinθ)，此时渡河最短位移：s=L；
答：（1）船头垂直河岸时，渡河时间最短；
（2）若V_船＞V_水，合速度垂直河岸时，渡河位移最小；
（3）若V_船＜V_水，当船的速度垂直合速度时，渡河船漂下的距离最短．