如图所示，在光滑的水平面上，质量为M=1kg的平板车左端放有质量为m=2kg的铁块，铁块与车之间的摩擦因素μ=0.5．开始时，车和铁块以共同速度v=6m/s向右运动，车与右边的墙壁发生正碰，且碰

Question

如图所示，在光滑的水平面上，质量为M=1kg的平板车左端放有质量为m=2kg的铁块，铁块与车之间的摩擦因素μ=0.5．开始时，车和铁块以共同速度v=6m/s向右运动，车与右边的墙壁发生正碰，且碰撞是弹性的．车身足够长，使铁块不能和墙相碰．重力加速度g=10m/s²．

试求：（1）铁块相对车运动的总路程；
（2）平板车第一次碰墙后所走的总路程．

Answer 1

（1）假如平板车在第二次碰撞前和滑块相对静止，取向右方向为正方向，设平板车在第二次碰撞前和滑块具有的共同速度为v₁．此即平板车碰墙前瞬间的速度．
根据系统的动量守恒得：
  mv-Mv=（m+M）v₁；    
得 v₁=(m−M)/(m+M)v=(2−1)/(2+1)×6m/s=2m/s，方向向右；
第一次撞墙后车向左运动的最大距离为S₁，则由动能定理得：-μmgS₁=0-(1)/(2)mv2，得 S₁=(v2)/(2μg)=(62)/(2×5)=3.6m
反向加速通过的位移为S′，则由动能定理得 μmgS′=(1)/(2)mv′2，S′=(v21)/(2μg)＜S
所以车第二次撞墙前必然与铁块达到共同速度v₁．
   车第二次撞墙后，车速大小不变，方向反向，系统的动量仍守恒，同理可知第三次撞墙前，两者速度又相同，共同速度为 v₂=(m−M)/(m+M)v₁=(2−1)/(2+1)v₁=((1)/(3))2v，方向向右，朝墙运动；
依此类推，可知车与墙第三撞后，共同速度大小为 v₃=(m−M)/(m+M)v₂=(2−1)/(2+1)v₂=（(1)/(3)）³v，向右朝墙运动，由于系统的机械能不断减小，车足够长，最终车停在墙角处，总动能为零．
设铁块相对车运动的总路程为△S，对于全过程，对系统根据能量守恒有：(1)/(2)（M+m）v²=μmg△S   
解得△S=5.4m
（2）第二次撞墙后车向左运动的最大距离为S₂，则由动能定理得：-μmgS₂=0-(1)/(2)m

v

2 1

，得 S₂=(v21)/(2μg)=(((1)/(3)v)2)/(2μg)=(1)/(32)S₁；
同理，第三次撞墙后车向左运动的最大距离为S₃=(1)/(34)S₁；
  …
第n次撞墙后车向左运动的最大距离为 S_n=(1)/(32(n−1))S₁；
可得平板车第一次碰墙后所走的总路程为 S_总=2（S₁+S₂+S₃+…+S_n）=2（S₁+(1)/(32)S₁+(1)/(34)S₁+…+(1)/(32(n−1))S₁）
而n→∞，代入解得 S_总=4.05m
答：
（1）铁块相对车运动的总路程是5.4m；
（2）平板车第一次碰墙后所走的总路程是4.05m．