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设函数y=f(k)是定义在N*上的增函数,且f(f(k))=3k,则f(1)+f(9)+f(10)=.
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设函数y=f(k)是定义在N*上的增函数,且f(f(k))=3k,则f(1)+f(9)+f(10)=______.
▼优质解答
答案和解析
∵f(f(k))=3k,∴取k=1,得f(f(1))=3,
假设f(1)=1时,有f(f(1))=f(1)=1矛盾,
假设f(1)≥3,因为函数是正整数集上的增函数,
得f(f(1))≥f(3)>f(1)≥3矛盾,
由以上的分析可得:f(1)=2,代入f(f(1))=3,得f(2)=3,
可得f(3)=f(f(2))=3×2=6,
f(6)=f(f(3))=3×3=9,
f(9)=f(f(6))=3×6=18,
由f(f(k))=3k,取k=4和5,得f(f(4))=12,f(f(5))=15,
∵在f(6)和f(9)之间只有f(7)和f(8),且f(4)<f(5),
∴f(4)=7,f(7)=12,f(8)=15,f(5)=8,
∴f(12)=f(f(7))=3×7=21,
∵f(10)=19,f(11)=20.
∴f(1)+f(9)+f(10)=2+18+19=39.
故答案为:39.
假设f(1)=1时,有f(f(1))=f(1)=1矛盾,
假设f(1)≥3,因为函数是正整数集上的增函数,
得f(f(1))≥f(3)>f(1)≥3矛盾,
由以上的分析可得:f(1)=2,代入f(f(1))=3,得f(2)=3,
可得f(3)=f(f(2))=3×2=6,
f(6)=f(f(3))=3×3=9,
f(9)=f(f(6))=3×6=18,
由f(f(k))=3k,取k=4和5,得f(f(4))=12,f(f(5))=15,
∵在f(6)和f(9)之间只有f(7)和f(8),且f(4)<f(5),
∴f(4)=7,f(7)=12,f(8)=15,f(5)=8,
∴f(12)=f(f(7))=3×7=21,
∵f(10)=19,f(11)=20.
∴f(1)+f(9)+f(10)=2+18+19=39.
故答案为:39.
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