设y=f(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导,且f(0)=1,f(1)=0.证明:至少有一点ξ,使f'(ξ)=-f(ξ)/ξ

Question

设y=f(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导,且f(0)=1,f(1)=0.
证明:至少有一点ξ,使f'(ξ)=-f(ξ)/ξ

Answer 1

证明：令F(x)=xf(x)
因为f(x)在[0,1]上连续,(0,1)可导
所以F(x)也在[0,1]上连续,(0,1)可导
根据拉格朗日中值定理,存在a∈(0,1)
使得[F(1)-F(0)]/(1-0)=F'(a)
[1*f(1)-0*f(0)]=a*f'(a)+f(a)
f'(a)=-f(a)/a
原题得证