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设limx→0f(x)x=1,且f″(x)>0,证明f(x)≥x.

题目详情
lim
x→0
f(x)
x
=1,且f″(x)>0,证明f(x)≥x.
▼优质解答
答案和解析
证明:由f″(x)>0知f(x)连续;
再根据
lim
x→0
f(x)
x
=1可知f(0)=0,f′(0)=1
故由麦克劳林中值定理f(x)=f(0)+f′(0)x+
f″(ξ)
2!
x2 ,(0<ξ<x)
f(x)=0+x+
f″(ξ)
2
x2=x+
f″(ξ)
2
x2
由于f″(x)>0(即f''(ξ)>0),x2≥0,所以
f″(ξ)
2
x2≥0;
两边加上x则得:x+
f″(ξ)
2
x2≥x,即f(x)≥x.