设limx→0f(x)x=1，且f″（x）＞0，证明f（x）≥x．

Question

设

lim

x→0

(f(x))/(x)=1，且f″（x）＞0，证明f（x）≥x．

Answer 1

证明：由f″（x）＞0知f（x）连续；
再根据

lim

x→0

(f(x))/(x)=1可知f（0）=0，f′（0）=1
故由麦克劳林中值定理f(x)＝f(0)+f′(0)x+(f″(ξ))/(2!)x2 ，(0＜ξ＜x)
即f(x)＝0+x+(f″(ξ))/(2)x2＝x+(f″(ξ))/(2)x2
由于f″（x）＞0（即f''（ξ）＞0），x²≥0，所以(f″(ξ))/(2)x2≥0；
两边加上x则得：x+(f″(ξ))/(2)x2≥x，即f（x）≥x．