设x∈(0,1),证明(1+x)ln^2(1+x)

Question

设x∈(0,1),证明(1+x)ln^2(1+x)

Answer 1

因为x∈(0,1)
所以ln(1+x)＞0
所以(1+x)ln²(1+x)＜x² √(1+x)ln(1+x)＜x
设√(1+x)=t
因为x∈(0,1)
所以t∈(1,√2)
√(1+x)ln(1+x)＜x tlnt²＜t²-1
2tlnt＜t²-1
2lnt＜t-1/t
构造函数g(t)=t-1/t-2lnt
所以g′(t)=1+1/t²-2/t=(t²-2t+1)/t²=(t-1)²/t²≥0恒成立
所以g(t)单调递增
所以当t∈(1,√2)时,g(t)＞g(1)=1-1/1-0=0
所以g(t)=t-1/t-2lnt＞0
所以t-1/t＞2lnt
所以(1+x)ln²(1+x)