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设x∈(0,1),证明(1+x)ln^2(1+x)
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设x∈(0,1),证明(1+x)ln^2(1+x)
▼优质解答
答案和解析
因为x∈(0,1)
所以ln(1+x)>0
所以(1+x)ln²(1+x)<x² √(1+x)ln(1+x)<x
设√(1+x)=t
因为x∈(0,1)
所以t∈(1,√2)
√(1+x)ln(1+x)<x tlnt²<t²-1
2tlnt<t²-1
2lnt<t-1/t
构造函数g(t)=t-1/t-2lnt
所以g′(t)=1+1/t²-2/t=(t²-2t+1)/t²=(t-1)²/t²≥0恒成立
所以g(t)单调递增
所以当t∈(1,√2)时,g(t)>g(1)=1-1/1-0=0
所以g(t)=t-1/t-2lnt>0
所以t-1/t>2lnt
所以(1+x)ln²(1+x)
所以ln(1+x)>0
所以(1+x)ln²(1+x)<x² √(1+x)ln(1+x)<x
设√(1+x)=t
因为x∈(0,1)
所以t∈(1,√2)
√(1+x)ln(1+x)<x tlnt²<t²-1
2tlnt<t²-1
2lnt<t-1/t
构造函数g(t)=t-1/t-2lnt
所以g′(t)=1+1/t²-2/t=(t²-2t+1)/t²=(t-1)²/t²≥0恒成立
所以g(t)单调递增
所以当t∈(1,√2)时,g(t)>g(1)=1-1/1-0=0
所以g(t)=t-1/t-2lnt>0
所以t-1/t>2lnt
所以(1+x)ln²(1+x)
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