设函数f（x）在[0，3]上连续，在（0，3）内存在二阶导数，且2f（0）=∫20f(x)dx＝f(2)+f(3)．（Ⅰ）证明：存在η∈（0，2）使f（η）=f（0）．（Ⅱ）证明：存在ξ∈（0，3），使f″（ξ）=0．

Question

设函数f（x）在[0，3]上连续，在（0，3）内存在二阶导数，且2f（0）=

∫

2 0

f(x)dx＝f(2)+f(3)．
（Ⅰ）证明：存在η∈（0，2）使f（η）=f（0）．
（Ⅱ）证明：存在ξ∈（0，3），使f″（ξ）=0．

Answer 1

证明：（I）由2f(0)＝

∫

2 0

f(x)dx，根据积分中值定理，有

∫

2 0

f(x)dx＝2f(η)，其中η∈（0，2）
从而存在η∈（0，2），使f（η）=f（0）．
（II）由（I）知，存在η∈（0，2），使f（η）=f（0）
在[0，η]上使用洛尔定理：∃ξ₁∈（0，2），使f′（ξ₁）=0…①
又∵2f（0）=f（2）+f（3）
∴f(0)＝(f(2)+f(3))/(2)
而(f(2)+f(3))/(2)表示介于f（2）和f（3）之间的值
又f（x）在[2，3]连续，故由介值定理有：
∃η₁∈（2，3），使得f(η1)＝(f(2)+f(3))/(2)
∴f（0）=f（η₁）
∴在[0，η_1]上使用洛尔定理：∃ξ₂∈（0，η₁），使f′（ξ₂）=0…②
由f（x）在（0，3）内存在二阶导数，再由①和②，在[ξ₁，ξ₂]使用洛尔定理；
∃ξ∈（ξ，₁ξ₂），使f″（ξ）=0
即：存在ξ∈（0，3），使f″（ξ）=0．