证明一个函数处处可导设f（x）满足：1.f(x+y)=f(x)+f(y),对一切x,y属于R2.f(x)=1+xg(x),而limx->0g（x）=1证明f（x）在R上处处可导,且f'（x）=f（x）

Question

证明一个函数处处可导
设f（x）满足：1.f(x+y)=f(x)+f(y),对一切x,y属于R
2.f(x)=1+xg(x),而lim x->0 g（x）=1
证明f（x）在R上处处可导,且f'（x）=f（x）

Answer 1

题目条件肯定写错了,应该是f(x+y)=f(x)f(y).
看结论就知道要你证明的是f(x)=e^x,一种办法就是利用函数方程外加连续性逐步解出来,另一种就是直接做.
条件1用来得到
1)f(0)=f(0)^2,结合条件2得到f(0)=1.
2)1=f(x-x)=f(x)f(-x)
条件2是连续性的条件,可以得到
1)lim x->0 f(x)=1=f(0),即f(x)在0点连续.
2) lim x->0 [f(x)-f(0)]/x= lim x->0 g(x)=1,于是f(x)在0点可微且f'(0)=1.
接下来就可以直接证明结论了.
f'(x)
=lim Δx->0 [f(x+Δx)-f(x)]/Δx
=lim Δx->0 f(x)[f(x+Δx)f(-x)-1]/Δx
=f(x) lim Δx->0 [f(Δx)-1]/Δx
=f(x)f'(0)
=f(x)