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设函数f(x)在闭区间[-1,1]上具有三阶连续导数,且f(-1)=0,f(1)=1,f′(0)=0,证明:在开区间(-1,1)内至少存在一点ξ,使f′′′(ξ)=3.

题目详情
设函数f(x)在闭区间[-1,1]上具有三阶连续导数,且f(-1)=0,f(1)=1,f′(0)=0,
证明:在开区间(-1,1)内至少存在一点ξ,使f′′′(ξ)=3.
▼优质解答
答案和解析

方法一:
在x=0处,将函数f(x)按照泰勒公式展开,得:
f(x)=f(0)+f′(0)x+
1
2!
f″(0)x2+
1
3!
f″′(η)x3,其中η介于0与x之间,x∈[-1,1],
由已知可得:
0=f(-1)=f(0)+
1
2
f″(0)-
1
6
f″′(η1),(-1<η1<0),…①
1=f(1)=f(0)+
1
2
f″(0)+
1
6
f″′(η2),(0<η2<1),…②
②-①得:
f″′(η2)+f″′(η1)=6,
由于:f(x)具有三阶连续导数,
从而:f″′(x)在闭区间[η1,η2]上连续,
故:f″′(x)在闭区间[η1,η2]上有最大值和最小值,
设最大值和最小值分别为M和m,
则:m≤
f″′(η1)+f″′(η2)
2
≤M,
由闭区间上连续函数的介值定理,得:
至少存在一点ξ∈[η1,η2]⊂[-1,1],使得:
f″′(ξ)=
f″′(η1)+f″′(η2)
2
=3.
方法二:(应用三次罗尔定理)
作辅助函数:φ(x)=
1
2
x2(x+1)+(1+x)(1-x)f(0),
则:φ(1)=f(1),φ(-1)=f(-1),φ(0)=f(0),φ′(0)=f′(0),
令:F(x)=f(x)-φ(x),
则:F(0)=F(1)=F(-1)=0,
易知F(x)满足罗尔定理,
从而,∃ξ1∈(-1,0),∃ξ2∈(0,1),使得:F′(ξ1)=F′(ξ2)=0,
而:F′(0)=0,
于是:F′(ξ1)=F′(0)=F′(ξ2)=0,
易知:F(x)也是具有三阶连续导数的.
从而对F′(x)应用罗尔定理得:∃η1∈(ξ1,0),η2∈(0,ξ2),使得:F″(η1)=F″(η2)=0,
又:在闭区间[η1,η2]上F″(x)满足罗尔定理的条件,
从而:∃ξ∈(η1,η2),使得:F′″(ξ)=0,
而:F′″(x)=f′″(x)-φ′″(x)且φ′″(x)=3,
∴f′″(ξ)=3.