设f（x）是区间[0，+∞）上单调减少且非负的连续函数，an＝nk＝1f(k)−∫n1f(x)dx（n=1，2，…），证明数列{an}的极限存在．

Question

设f（x）是区间[0，+∞）上单调减少且非负的连续函数，an＝

n

k＝1

f(k)−

∫

n 1

f(x)dx（n=1，2，…），证明数列{a_n}的极限存在．

Answer 1

证明：利用单调有界的数列必收敛这一定理证明
首先，证明数列{a_n}是单调的
因为：an＝

n

k＝1

f(k)−

∫

n 1

f(x)dx（n=1，2，…），
故
an+1−an＝f(n+1)−

∫

n+1 n

f(x)dx=f（n+1）-f（ξ）[（n+1）-n]=f（n+1）-f（ξ），其中ξ∈（n，n+1）
而f（x）是区间[0，+∞）上单调减少且非负的连续函数，因而
f（n+1）＜f（ξ）
∴a_n+1-a_n＜0
∴数列{a_n}是单调递减的．
其次，证明数列{a_n}是有界的，这里由于数列{a_n}是单调递减的，因此只需要证明有下界就行
由an＝

n

k＝1

f(k)−

∫

n 1

f(x)dx得：
an＝

n

k＝1

f(k)−[

∫

2 1

f(x)dx+

∫

3 2

f(x)dx+…+

∫

n n−1

f(x)dx
=

n

k＝1

f(k)−

n−1

k＝1

∫

k+1 k

f(x)dx
=

n−1

k＝1

f(k)−

n−1

k＝1

∫

k+1 k

f(x)dx+f(n)
=

n−1

k＝1

∫

k+1 k

[f(k)−f(x)]dx+f(n)
又f（x）是区间[0，+∞）上单调减少且非负
∴f（k）-f（x）＞0，x∈（k，k+1），f（n）≥0
∴a_n=

n−1

k＝1

∫

k+1 k

[f(k)−f(x)]dx+f(n)＞0
∴数列{a_n}是有下界
因此数列{a_n}是单调递减有下界的
数列{a_n}的极限存在