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设f(x)是区间[0,+∞)上单调减少且非负的连续函数,an=nk=1f(k)−∫n1f(x)dx(n=1,2,…),证明数列{an}的极限存在.
题目详情
设f(x)是区间[0,+∞)上单调减少且非负的连续函数,an=
f(k)−
f(x)dx(n=1,2,…),证明数列{an}的极限存在.
n |
![]() |
k=1 |
∫ | n 1 |
▼优质解答
答案和解析
证明:利用单调有界的数列必收敛这一定理证明
首先,证明数列{an}是单调的
因为:an=
f(k)−
f(x)dx(n=1,2,…),
故
an+1−an=f(n+1)−
f(x)dx=f(n+1)-f(ξ)[(n+1)-n]=f(n+1)-f(ξ),其中ξ∈(n,n+1)
而f(x)是区间[0,+∞)上单调减少且非负的连续函数,因而
f(n+1)<f(ξ)
∴an+1-an<0
∴数列{an}是单调递减的.
其次,证明数列{an}是有界的,这里由于数列{an}是单调递减的,因此只需要证明有下界就行
由an=
f(k)−
f(x)dx得:
an=
f(k)−[
f(x)dx+
f(x)dx+…+
f(x)dx
=
f(k)−
f(x)dx
=
f(k)−
f(x)dx+f(n)
=
[f(k)−f(x)]dx+f(n)
又f(x)是区间[0,+∞)上单调减少且非负
∴f(k)-f(x)>0,x∈(k,k+1),f(n)≥0
∴an=
[f(k)−f(x)]dx+f(n)>0
∴数列{an}是有下界
因此数列{an}是单调递减有下界的
数列{an}的极限存在
首先,证明数列{an}是单调的
因为:an=
n |
![]() |
k=1 |
∫ | n 1 |
故
an+1−an=f(n+1)−
∫ | n+1 n |
而f(x)是区间[0,+∞)上单调减少且非负的连续函数,因而
f(n+1)<f(ξ)
∴an+1-an<0
∴数列{an}是单调递减的.
其次,证明数列{an}是有界的,这里由于数列{an}是单调递减的,因此只需要证明有下界就行
由an=
n |
![]() |
k=1 |
∫ | n 1 |
an=
n |
![]() |
k=1 |
∫ | 2 1 |
∫ | 3 2 |
∫ | n n−1 |
=
n |
![]() |
k=1 |
n−1 |
![]() |
k=1 |
∫ | k+1 k |
=
n−1 |
![]() |
k=1 |
n−1 |
![]() |
k=1 |
∫ | k+1 k |
=
n−1 |
![]() |
k=1 |
∫ | k+1 k |
又f(x)是区间[0,+∞)上单调减少且非负
∴f(k)-f(x)>0,x∈(k,k+1),f(n)≥0
∴an=
n−1 |
![]() |
k=1 |
∫ | k+1 k |
∴数列{an}是有下界
因此数列{an}是单调递减有下界的
数列{an}的极限存在
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