设定义在R上的函数f(x),满足当x>0时,f(x)>1,且对任意x,y属于R,有f(x+y)=f(x)*f(y),f(1)=2(1)求f(0)的值(2)求证:对于任何x属于R,都有f(x)>0.(3)解不等式f(3-x²)>4.

Question

设定义在R上的函数f(x),满足当x>0时,f(x)>1,且对任意x,y属于R,有f(x+y)=f(x)*f(y),f(1)=2
(1)求f(0)的值
(2)求证:对于任何x属于R,都有f(x)>0.
(3)解不等式f(3-x²)>4.

Answer 1

这是一道抽象函数题,求某个函数值用赋值法,证明单调性用定义法,解相关不等式用单调性.
(1)在f(x+y)=f(x)*f(y)中,令x=0,y=1得f(1)=f(0)*f(1),即2=2f(0),∴f(0)=1.
(2)当x>0时,f(x)>1>0；
当x=0时,f(x)=f(0)=1>0；
当x0,则f(－x)>1>0,
　　　在f(x+y)=f(x)*f(y)中,令y=－x得f(0)=f(x)*f(-x)=1,即f(x)=1/f(－x)>0
　综上,对于任何x属于R,都有f(x)>0.
(3)在f(x+y)=f(x)*f(y)中,令x=y=1得f(2)=f(1)*f(1)=4,
∴不等式化为f(3-x²)>f(2)
设m0,故f(n－m)>1,又f(m)>0
∴f(n)－f(m)＝f(n－m＋m)－f(m)＝f(n－m)*f(m)－f(m)>f(m)－f(m)＝0
　即f(n)>f(m),∴f(x)在R上是增函数,
　∴不等式化为3-x²>2,解得－1