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已知函数f(x)满足f(1)=a且f(n+1)=﹛(f(n)-1)/f(n)f(n)>1﹛2f(n),f(n)≤9已知函数f(x)满足f(1)=a且f(n+1)=﹛(f(n)-1)/f(n)f(n)>1﹛2f(n),f(n)≤9,若对任意
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已知函数f(x)满足f(1)=a且f(n+1)=﹛(f(n)-1)/f(n) f(n)>1 ﹛2f(n),f(n)≤9
已知函数f(x)满足f(1)=a且f(n+1)=﹛(f(n)-1)/f(n) f(n)>1
﹛2f(n),f(n)≤9
,若对任意的x∈N+,总有f(n+3)=f(n)成立,则a在﹙0,1]内的可能值有多少个?
已知函数f(x)满足f(1)=a且f(n+1)=﹛(f(n)-1)/f(n) f(n)>1
﹛2f(n),f(n)≤9
,若对任意的x∈N+,总有f(n+3)=f(n)成立,则a在﹙0,1]内的可能值有多少个?
▼优质解答
答案和解析
分析:欲求出对任意的n∈N*总有f(n+3)=f(n)成立时a在(0,1]内的可能值,只须考虑n=1时,使得方程f(4)=f(1)的a在(0,1]内的可能值即可.对a进行分类讨论,结合分段函数的解析式列出方程求解即可.
∵0<a≤1,∴f(2)=2f(1)=2a,
①当0<a≤1/4时,0<2a≤1/2,0<4a≤1,
∴f(3)=2f(2)=4a,
f(4)=2f(3)=8a,
此时f(4)=f(1)不成立;
②当1/4<a≤1/2时,1/2<2a≤1,1<4a≤2,
∴f(3)=2f(2)=4a,
f(4)=[f(3)-1]/f(3)=﹙4a-1﹚/4a,
此时f(4)=f(1)⇔﹙4a-1﹚/4a=a⇔a=1/2;
③当1/2<a≤1时,1<2a≤2,2<4a≤4,
∴f(3)=[f(2)-1]/f(2)=(2a-1)/2a≤1/2,
∴f(4)=2f(3)=(2a-1)/a,
此时f(4)=f(1)⇔(2a-1)/a=a⇔a=1;
综上所述,当n=1时,有f(n+3)=f(n)成立时,
则a在(0,1]内的可能值有两个.
点评:本小题主要考查分段函数、函数恒成立问题、方程式的解法等基础知识,考查运算求解能力,考查分类讨论思想、化归与转化思想.
有疑问可以追问哦,.
∵0<a≤1,∴f(2)=2f(1)=2a,
①当0<a≤1/4时,0<2a≤1/2,0<4a≤1,
∴f(3)=2f(2)=4a,
f(4)=2f(3)=8a,
此时f(4)=f(1)不成立;
②当1/4<a≤1/2时,1/2<2a≤1,1<4a≤2,
∴f(3)=2f(2)=4a,
f(4)=[f(3)-1]/f(3)=﹙4a-1﹚/4a,
此时f(4)=f(1)⇔﹙4a-1﹚/4a=a⇔a=1/2;
③当1/2<a≤1时,1<2a≤2,2<4a≤4,
∴f(3)=[f(2)-1]/f(2)=(2a-1)/2a≤1/2,
∴f(4)=2f(3)=(2a-1)/a,
此时f(4)=f(1)⇔(2a-1)/a=a⇔a=1;
综上所述,当n=1时,有f(n+3)=f(n)成立时,
则a在(0,1]内的可能值有两个.
点评:本小题主要考查分段函数、函数恒成立问题、方程式的解法等基础知识,考查运算求解能力,考查分类讨论思想、化归与转化思想.
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