已知函数f（x）=（x-a）sinx+cosx，x∈（0，π）．（Ⅰ）当a=π2时，求函数f（x）值域；（Ⅱ）当a＞π2时，求函数f（x）的单调区间．

Question

已知函数f（x）=（x-a）sinx+cosx，x∈（0，π）．
（Ⅰ）当a=(π)/(2)时，求函数f（x）值域；
（Ⅱ）当a＞(π)/(2)时，求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

（Ⅰ）当a=(π)/(2)时，f（x）=（x-(π)/(2)）sinx+cosx，x∈（0，π）．
f′（x）=（x-(π)/(2)）cosx，由f′（x）=0得x=(π)/(2)，
f（x），f′（x）的情况如下：

x	（0，(π)/(2)）	(π)/(2)	（(π)/(2)，π）
x-(π)/(2)	-	0	+
cosx	+	0	-
f′（x）	-	0	-
f（x）	↓		↓

因为f（0）=1，f（π）=-1，
所以函数f（x）的值域为（-1，1）．
（Ⅱ）f′（x）=（x-a）cosx，
①当(π)/(2)＜a＜π时，f（x），f′（x）的情况如下

x	（0，(π)/(2)）	(π)/(2)	（(π)/(2)，a）	a	（a，π）
x-a	-		-	0	+
cosx	+	0	-		-
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↓		↑		↓

所以函数f（x）的单调增区间为（(π)/(2)，a），单调减区间为（0，(π)/(2)）和（a，π）．
②当a≥π时，f（x），f′（x）的情况如下

x	（0，(π)/(2)）	(π)/(2)	（(π)/(2)，π）
x-a	-		-
cosx	+	0	-
f′（x）	-	0	+
f（x）	↓		↑

所以函数f（x）的单调增区间为（(π)/(2)，π），单调减区间为（0，(π)/(2)）．