已知定义在实数集R上的偶函数f（x）的最小值为3，且当x≥0时，f（x）=3ex+a（a为常数）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求最大的整数m（m＞1），使得存在实数t，对任意的x∈[1，m]都有f

Question

已知定义在实数集R上的偶函数f（x）的最小值为3，且当x≥0时，f（x）=3e^x+a（a为常数）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求最大的整数m（m＞1），使得存在实数t，对任意的x∈[1，m]都有f（x+t）＜3ex．

Answer 1

（1）∵y=e^x是增函数，∴当x≥0时，f（x）为增函数，又f（x）为偶函数，
∴f（x）_min=f（0）=3+a，∴3+a=3．∴a=0
当x＜0时，-x＞0，∴f（x）=f（-x）=3e^-x
综上，f（x）=

3ex，x≥0

3e−x，x＜0

（2）当x∈[1，m]时，有f（x+t）≤3ex，∴f（1+t）≤3e
当1+t≥0时，有：3e^1+t≤3e，即e^1+t≤e，得到1+t≤1，
∴-1≤t≤0；
当1+t≤0时，同理，-2≤t≤-1，
∴-2≤t≤0
同样地，f（m+t）≤3em及m≥2，得e^m+t≤em
∴e^t≤(em)/(em)
由t的存在性可知，上述不等式在[-2，0]上必有解．
∵e^t在[-2，0]上的最小值为e^-2，
∴e^-2≤(em)/(em)，即e^m-e³m≤0①
令g（x）=e^x-e³x，x∈[2，+∞）．
则g'（x）=e^x-e³由g'（x）=0得x=3
当2≤x＜3时，g'（x）＜0，g（x）是减函数；当x＞3时，g'（x）＞0，g（x）是增函数
∴g（x）的最小值是g（3）=e³-3e³=-2e³＜0，
又g（2）＜0，g（4）＜0，g（5）＞0，
∴g（x）=0在[2，+∞）上有唯一解m₀∈（4，5）．
当2≤x≤m₀时，g（x）≤0，当x＞m₀时，g（x）＞0
∴在x∈[2，+∞）时满足不等式①的最大实数解为m₀
当t=-2，x∈[1，m₀]时，f（x-2）-3ex=3e（e^|x-2|-1-x），
在x∈[1，2）时，
∵e^|x-2|-1=e^1-x≤1
∴f（x-2）-3ex≤0，
在x∈[2，m₀]时，f（x-2）-3ex=3e（ex-3-x）=(3)/(e2)g（x）≤0
综上所述，m最大整数为4．