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设f(x)定义在R上,并且对任意的x,有f(x+2)=f(x+3)-f(x+4),求证f(x)是周期函数,并找出他的一个周期
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设f(x)定义在R上,并且对任意的x,有f(x+2)=f(x+3)-f(x+4),求证f(x)是周期函数,并找出他的一个周期
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答案和解析
∵f(x+2)=f(x+3)-f(x+4) (1)
∴f(x+3)=f(x+4)-f(x+5),将f(x+3)代入(1)式,则得
f(x+2)=f(x+4)-f(x+2)-f(x+4)
f(x+2)=-f(x+5)
∴f(x+5)=-f(x+8)
∴f(x+2)=-f(x+5)=f(x+8)→f(x)=f(x+6)
∴f(x)是周期函数,一个周期为6
∴f(x+3)=f(x+4)-f(x+5),将f(x+3)代入(1)式,则得
f(x+2)=f(x+4)-f(x+2)-f(x+4)
f(x+2)=-f(x+5)
∴f(x+5)=-f(x+8)
∴f(x+2)=-f(x+5)=f(x+8)→f(x)=f(x+6)
∴f(x)是周期函数,一个周期为6
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