设f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-2007),求f'(0)和f'(1).

Question

设f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-2007),求f'(0)和f'(1).

Answer 1

把f(x)的导数写开来,用求导的乘积法则.会看到有很多项,但是之后就会发现,求f'(0)和f'(1)的时候,其实大部分的项都归零了
f'(x)=(x-1)(x-2)…(x-2007) + x(x-2)(x-3)…(x-2007) + … + x(x-1)(x-2)…(x-2006)
总共有2007项加起来
但注意到,这2000多项里,几乎每项都会含有x或者(x-1）,只有一项例外,分别是上式写出来的第一和第二项,这样求f'(0)和f'(1)就大大简化了,因为我们只要关心那个非零项
f'(0) = (0-1)(0-2)…(0-2007) = (-1)^2007 * 2007!= -2007!
f'(1) = 1*(1-2)(1-3)…(1-2007) = 1*(-1)^2006*2006!= 2006!