设常数a∈R，函数f（x）=（a-x）|x|．（Ⅰ）若a=1，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）是奇函数，且关于x的不等式mx2+m>f[f（x）]对所有的x∈[-2，2]恒成立，求实数m的取值范围．

Question

设常数a∈R，函数f（x）=（a-x）|x|．
（Ⅰ）若a=1，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）是奇函数，且关于x的不等式mx²+m>f[f（x）]对所有的x∈[-2，2]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当a=1时，f(x)=(1-x)|x|=

(1-x)x，x≥0

(x-1)x，x<0

；
当x≥0时，f(x)=(1-x)x=-(x-(1)/(2))2+(1)/(4)，∴f（x）在[0，(1)/(2)]内是增函数，在((1)/(2)，+∞)内是减函数；
当x<0时，f(x)=(x-1)x=(x-(1)/(2))2-(1)/(4)，∴f（x）在（-∞，0）内是减函数；
综上可知，f（x）的单调增区间为[0，(1)/(2)]，单调减区间为（-∞，0），((1)/(2)，+∞)；
（Ⅱ）∵f（x）是奇函数，∴f（-1）=-f（1）；
即（a+1）•1=-（a-1）•1；
解得a=0；
∴f（x）=-x|x|，f[f（x）]=x³|x|；
∴mx²+m>f[f（x）]=x³|x|，即m>(x3|x|)/(x2+1)对所有的x∈[-2，2]恒成立；
∵x∈[-2，2]，∴x²+1∈[1，5]；
∴(x3|x|)/(x2+1)≤(x4)/(x2+1)=(x4-1+1)/(x2+1)=x2+1+(1)/(x2+1)-2≤(16)/(5)；
∴m>(16)/(5)；
∴实数m的取值范围为((16)/(5)，+∞)．