设f（x）=㏒1/2（10-ax）,a为常数,若f（3）=—2若对于区间[3,4]上的每一个x值,不等式f（x）＞（1/2）^X+m恒成立,求实数m的取值.

Question

设f（x）=㏒1/2 （10-ax）,a为常数,若f（3）=—2
若对于区间[3,4]上的每一个x值,不等式f（x）＞（1/2）^X+m恒成立,求实数m的取值.

Answer 1

log1/2 (10-3a)=-2
log2 (10-3a)=2
10-3a=4
a=2
f(x)=-log2 (10-2x)
不等式f(x)>(1/2）^X+m变形
f(x)-(1/2)^x>m
令F(x)=f(x)-1/2)^x=-log2 (10-2x)-(1/2)^x
F'(x)=x/[(5-x)In2]+(1/2)^x In2
当x∈[3,4]时,F'(x)>0 即F(x)在x∈[3,4]时为增函数.
当F(x)>m恒成立时,即Fmin(x)>m
而Fmin(x)=F(3)=f(3)-(1/2)^3=-2-1/8=-17/8
所以m