如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8．点E与点B在AC的同侧，且AE⊥AC．（1）如图1，点E不与点A重合，连结CE交AB于点P．设AE=x，AP=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）是

Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8．点E与点B在AC的同侧，且AE⊥AC．

（1）如图1，点E不与点A重合，连结CE交AB于点P．设AE=x，AP=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）是否存在点E，使△PAE与△ABC相似，若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，过点B作BD⊥AE，垂足为D．将以点E为圆心，ED为半径的圆记为 E．若点C到 E上点的距离的最小值为8，求 E的半径．

Answer 1

（1）∵AE⊥AC，∠ACB=90°，
∴AE∥BC，
∴(AE)/(BC)=(AP)/(BP)，
∵BC=6，AC=8，
∴AB=√(BC2+AC2)=10，
∵AE=x，AP=y，
∴(x)/(6)=(y)/(10-y)，
∴y=(10x)/(x+6)（x>0）；

（2）∵∠ACB=90°，而∠PAE与∠PEA都是锐角，
∴要使△PAE与△ABC相似，只有∠EPA=90°，即CE⊥AB，
此时△ABC∽△EAC，则(AE)/(8)=(8)/(6)，
∴AE=(32)/(3)．
故存在点E，使△ABC∽△EAP，此时AE=(32)/(3)；

（3）∵点C必在 E外部，
∴此时点C到 E上点的距离的最小值为CE-DE．  
设AE=x．
①当点E在线段AD上时，ED=6-x，EC=6-x+8=14-x，
∴x²+8²=（14-x）²，
解得：x=(33)/(7)，
即 E的半径为(9)/(7)．
②当点E在线段AD延长线上时，ED=x-6，EC=x-6+8=x+2，
∴x²+8²=（x+2）²，
解得：x=15，
即 E的半径为9．
∴ E的半径为9或(9)/(7)．