在▱ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG．（1）如图1，当EF与AB相交时，若∠EAB=60°，求证：EG=AG+BG；（2）如图2，当EF与AB相交时，若∠EAB=α（0°

Question

在▱ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG．
（1）如图1，当EF与AB相交时，若∠EAB=60°，求证：EG=AG+BG；
（2）如图2，当EF与AB相交时，若∠EAB=α（0°＜α＜90°），请你直接写出线段EG、AG、BG之间的数量关系（用含α的式子表示）；
（3）如图3，当EF与CD相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：如图，作∠GAH=∠EAB交GE于点H．
∴∠GAB=∠HAE．
∵∠EAB=∠EGB，∠APE=∠BPG，
∴∠ABG=∠AEH．
在△ABG和△AEH中，

∠GAB＝∠HAE

AB＝AE

∠ABG＝∠AEH

，
∴△ABG≌△AEH（ASA）．
∴BG=EH，AG=AH．
∵∠GAH=∠EAB=60°，
∴△AGH是等边三角形．
∴AG=HG．
∴EG=AG+BG．

（2）如图，作∠GAH=∠EAB交GE于点H．作AM⊥EG于点M，
∴∠GAB=∠HAE．
∵∠EAB=∠EGB，∠APE=∠BPG，
∴∠ABG=∠AEH．
在△ABG和△AEH中，

∠GAB＝∠HAE

AB＝AE

∠ABG＝∠AEH

，
∴△ABG≌△AEH（ASA）．
∴BG=EH，AG=AH．
∵∠GAH=∠EAB=α，
∴GM=MH=(1)/(2)GH，∠GAM=∠HAM=(1)/(2)α，
∵GM=MH=AG•sin(α)/(2)，
∴EG=GH+BG．
∴EG＝2AGsin(α)/(2)+BG．

（3）EG＝√(2)AG−BG．
如图，作∠GAH=∠EAB交GE于点H．
∴∠GAB=∠HAE．
∵∠EGB=∠EAB=90°，
∴∠ABG+∠AEG=∠AEG+∠AEH=180°．
∴∠ABG=∠AEH．
∵又AB=AE，
∴△ABG≌△AEH．
∴BG=EH，AG=AH．
∵∠GAH=∠EAB=90°，
∴△AGH是等腰直角三角形．
∴√(2)AG=HG．
∴EG＝√(2)AG−BG．