已知CA=CB，CD=CE，B、C、E在同一条直线上，∠BCA=∠DCE=60°．（1）找出图中全等的全等三角形并加以证明；（2）求∠DHE的度数；（3）连接CH，求证：∠MHC=∠NHC；（4）连接AD，若S△AHD=5，求S四

Question

已知CA=CB，CD=CE，B、C、E在同一条直线上，∠BCA=∠DCE=60°．

（1）找出图中全等的全等三角形并加以证明；
（2）求∠DHE的度数；
（3）连接CH，求证：∠MHC=∠NHC；
（4）连接AD，若S_△AHD=5，求S_{四边形MHNC}．

Answer 1

（1）∵CA=CB，CD=CE，B、C、E在同一条直线上，∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠ACE=∠BCD=120°，
在△ACE与△BCD中，

AC=BC

∠ACE=∠BCD

CD=CE

，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠CAE=∠CBM，
∵∠ACN=∠BCM=60°，
在△ACN与△BCN中，

∠CAN=∠CBM

AC=BC

∠ACN=∠BCM

，
∴△ACN≌△BCM，
同理△CEN≌△CDM；
∴图中全等的全等三角形有△ACE≌△BCD，△ACN≌△BCM，△CEN≌△CDM；

（2）∵△CDM≌△CEN，
∴∠CDM=∠CEN，
∴C，E，D，H四点共圆，
∴∠DHE=∠DCE=60°；

（3）连接CH，过C作CP⊥AE于E，CQ⊥BD于Q，
∴∠CQD=∠CPE=90°，
在△CQD与△ECP中，

∠CQD=∠CPE

∠QDC=∠PEC

CD=CE

，
∴△CQD≌△ECN，
∴CQ=CN，
∴CH平分∠MHN，
∴∠MHC=∠NHC；

（4）连接AD，∵∠ACB=∠DEC=60°，
∴AC∥DE，
∴S_△ADE=S_△CDE，∴S_△ADN=S_△CEN，
∵△DMC≌△CEN，
∴S_△ADN=S_△CDM，
∴S_△ADN-S_△DHN=S_△CDM-S_△DHN，
即S_{四边形MHNC}=S_△AHD=5．