（2012•威海）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E．K为AC上一动点，AK，DC的延长线相交于点F，连接CK，KD．（1）求证：∠AKD=∠CKF；（2）若AB=10，CD=6，求tan∠CKF的值．

Question

（2012•威海）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E．K为

AC

上一动点，AK，DC的延长线相交于点F，连接CK，KD．
（1）求证：∠AKD=∠CKF；
（2）若AB=10，CD=6，求tan∠CKF的值．

Answer 1

（1）证明：连接AD、AC．
∵∠CKF是圆内接四边形ADCK的外角，
∴∠CKF+∠AKC=180°，
∠AKC+∠ADC=180°
∴∠CKF=∠ADC；
∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴

BD

=

BC

∴

AD

＝

AC

∴∠ADC=∠AKD，
∴∠AKD=∠CKF；

（2）连接OD．
∵AB为⊙O的直径，AB=10，
∴OD=5；
∵弦CD⊥AB，CD=6，
∴DE=CE=(1)/(2)CD=3（垂径定理）；
在Rt△ODE中，OE=√(OD2−DE2)=4，
∴AE=9；
在Rt△ADE中，tan∠ADE=(AE)/(DE)＝(9)/(3)=3；
∵∠CKF=∠ADE，
∴tan∠CKF=3．