求微分方程的通解1.xy'-yIny=02.cosxsinydx+sinxcosydy=03.(e^(x+y)-e^x)dx+(e^(x+y)+e^y)dy=0

Question

求微分方程的通解
1.xy'-yIny=0
2.cosxsinydx+sinxcosydy=0
3.(e^(x+y)-e^x)dx+(e^(x+y)+e^y)dy=0

Answer 1

1.xdy/dx=ylny
dy/ylny=dx/x
∫dy/ylny=∫dx/x
ln|lny|=ln|x|+A A为任意常数
lny=Bx 常数B>0
y=Ce^x 常数C>0
2.cosxsinydx=-sinxcosydy
当y不等于0时,ctgydy=-ctgxdx
ln|siny|=-ln|sinx|+A A为任意常数
siny=Bcscx 常数B>0
y=arcsin(Bcscx)
另外y=0也是原方程的一个解,所以y=arcsin(Ccscx) 常数C>=0
3.e^x(e^y-1)dx=-e^y(e^x+1)dy
当y不等于0时,e^ydy/(1-e^y)=e^xdx/(1+e^x)
ln|1-e^y|=-ln|1+e^x|+A A为任意常数
1-e^y=B/(1+e^x) B不等于0
e^y=1-B/(1+e^x)
y=ln[1-B/(1+e^x)]
因为y=0也是原方程的一个解,所以y=ln[1-C/(1+e^x)] C为任意常数