（2014•烟台）在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．（1）如图①，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的位置

Question

（2014•烟台）在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．
（1）如图①，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的位置关系，并说明理由；
（2）如图②，当E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不须证明）
（3）如图③，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
（4）如图④，当E，F分别在边DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP的最小值．

Answer 1

（1）AE=DF，AE⊥DF．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADC=∠C=90°．
在△ADE和△DCF中，

AD＝DC

∠ADC＝∠C

DE＝CF

，
∴△ADE≌△DCF（SAS）．
∴AE=DF，∠DAE=∠CDF，
由于∠CDF+∠ADF=90°，
∴∠DAE+∠ADF=90°．
∴AE⊥DF；

（2）是；

（3）成立．
理由：由（1）同理可证AE=DF，∠DAE=∠CDF
延长FD交AE于点G，

则∠CDF+∠ADG=90°，
∴∠ADG+∠DAE=90°．
∴AE⊥DF；

（4）如图：

由于点P在运动中保持∠APD=90°，
∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，
设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最小，
在Rt△QDC中，QC=√(CD2+QD2)＝√(22+12)＝√(5)，
∴CP=QC-QP=√(5)−1．