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如图,在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D、E,F为BC中点,BE与DF,DC分别交于点G,H,∠ABE=∠CBE.(1)求证:BH=AC;(2)求证:BG2-GE2=EA2.
题目详情
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/28/1532755112-4419.jpg)
(1)求证:BH=AC;
(2)求证:BG2-GE2=EA2.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)∵CD⊥AB,BE⊥AC,
∴∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°,
∵∠ABC=45°,
∴∠BCD=180°-90°-45°=45°=∠ABC
∴DB=DC,
∵∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°,
∴∠A+∠ACD=90°,∠A+∠HBD=90°,![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/28/1532755111-1414.jpg)
∴∠HBD=∠ACD,
∵在△DBH和△DCA中,
,
∴△DBH≌△DCA(ASA),
∴BH=AC.
(2)连接CG,![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/28/1532755112-6305.jpg)
由(1)知,DB=CD,
∵F为BC的中点,
∴DF垂直平分BC,
∴BG=CG,
∵∠ABE=∠CBE,BE⊥AC,
∴EC=EA,
在Rt△CGE中,由勾股定理得:CG2-GE2=CE2,
∵CE=AE,BG=CG,
∴BG2-GE2=EA2.
∴∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°,
∵∠ABC=45°,
∴∠BCD=180°-90°-45°=45°=∠ABC
∴DB=DC,
∵∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°,
∴∠A+∠ACD=90°,∠A+∠HBD=90°,
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/28/1532755111-1414.jpg)
∴∠HBD=∠ACD,
∵在△DBH和△DCA中,
|
∴△DBH≌△DCA(ASA),
∴BH=AC.
(2)连接CG,
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/28/1532755112-6305.jpg)
由(1)知,DB=CD,
∵F为BC的中点,
∴DF垂直平分BC,
∴BG=CG,
∵∠ABE=∠CBE,BE⊥AC,
∴EC=EA,
在Rt△CGE中,由勾股定理得:CG2-GE2=CE2,
∵CE=AE,BG=CG,
∴BG2-GE2=EA2.
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