（2014•江苏二模）如图所示，已知倾角为θ=45°、高为h的斜面固定在水平地面上．一小球从高为H（h＜H＜54h）处自由下落，与斜面做无能量损失的碰撞后水平抛出．小球自由下落的落点距斜

Question

（2014•江苏二模）如图所示，已知倾角为θ=45°、高为h的斜面固定在水平地面上．一小球从高为H（h＜H＜(5)/(4)h）处自由下落，与斜面做无能量损失的碰撞后水平抛出．小球自由下落的落点距斜面左侧的水平距离x满足一定条件时，小球能直接落到水平地面上．
（1）求小球落到地面上的速度大小；
（2）求要使小球做平抛运动后能直接落到水平地面上，x应满足的条件；
（3）在满足（2）的条件下，求小球运动的最长时间．

Answer 1

（1）设小球落到底面的速度为v，根据机械能守恒得：
  mgH＝(1)/(2)mv2，
得：v＝√(2gH)
（2）小球做自由落体的末速度为：v0＝√(2g(H−h+x))
小球做平抛运动的时间为：t＝√((2(h−x))/(g))
s＝2√((H−h+x)•(h−x))
由s＞h-x
解得：h−(4)/(5)H＜x＜h
（3）t总＝√((2(H−h+x))/(g))+√((2(h−x))/(g))
t总2＝(2H)/(g)+(4√((H−h+x)(h−x)))/(g)
当H-h+x=h-x，即x=h-(H)/(2)时，小球运动时间最长，
x=h-(H)/(2)，符合（2）的条件
代入得：tm＝2√((H)/(g))
答：
（1）小球落到地面上的速度大小为√(2gH)；
（2）要使小球做平抛运动后能直接落到水平地面上，x应满足的条件为h−(4)/(5)H＜x＜h；
（3）在满足（2）的条件下，小球运动的最长时间为2√((H)/(g))．