（2014•阜新）已知，在矩形ABCD中，连接对角线AC，将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△EFG，并将它沿直线AB向左平移，直线EG与BC交于点H，连接AH，CG．（1）如图①，当AB=BC，点F平移到线段BA上

Question

（2014•阜新）已知，在矩形ABCD中，连接对角线AC，将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△EFG，并将它沿直线AB向左平移，直线EG与BC交于点H，连接AH，CG．
（1）如图①，当AB=BC，点F平移到线段BA上时，线段AH，CG有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你的猜想；
（2）如图②，当AB=BC，点F平移到线段BA的延长线上时，（1）中的结论是否成立，请说明理由；
（3）如图③，当AB=nBC（n≠1）时，对矩形ABCD进行如已知同样的变换操作，线段AH，CG有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你的猜想．

Answer 1

（1）AH=CG，AH⊥CG．
证明：延长AH与CG交于点T，如图①，
由旋转和平移的性质可得：EF=AB，FG=BC，∠EFG=∠ABC．
∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，
∴EF=GF，∠EFG=∠ABC=90°．
∴∠CBG=90°，∠EGF=45°．
∴∠BHG=90°-45°=45°=∠EGF．
∴BH=BG．
在△ABH和△CBG中，

AB＝BC

∠ABH＝∠CBG

BH＝BG

，
∴△ABH≌△CBG（SAS）．
∴AH=CG，∠HAB=∠GCB．
∴∠HAB+∠AGC=∠GCB+∠AGC=90°．
∴∠ATC=90°．
∴AH⊥CG．

（2）（1）中的结论仍然成立．
证明：延长CG与AH交于点Q，如图②，
由旋转和平移的性质可得：EF=AB，FG=BC，∠EFG=∠ABC．
∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，
∴EF=GF，∠EFG=∠ABC=90°．
∴∠ABH=90°，∠EGF=45°．
∴∠BGH=∠EGF=45°．
∴∠BHG=90°-45°=45°=∠BGH．
∴BH=BG．
在△ABH和△CBG中，

AB＝BC

∠ABH＝∠CBG

BH＝BG

，
∴△ABH≌△CBG（SAS）．
∴AH=CG，∠HAB=∠GCB．
∴∠GCB+∠CHA=∠HAB+∠CHA=90°．
∴∠CQA=90°．
∴CG⊥AH．

（3）AH=nCG，AH⊥CG．
理由如下：
延长AH与CG交于点N，如图③，
由旋转和平移的性质可得：EF=AB，FG=BC，∠EFG=∠ABC．
∵四边形ABCD是矩形，AB=nBC，
∴EF=nGF，∠EFG=∠ABC=90°．
∴∠EFG+∠ABC=180°．
∴BH∥EF．
∴△GBH∽△GFE．
∴(BH)/(BG)=(FE)/(FG)．
∵(FE)/(FG)=n=(AB)/(BC)，
∴(BH)/(BG)=(AB)/(BC)．
∵∠ABH=∠CBG，
∴△ABH∽△CBG．
∴(AH)/(CG)=(AB)/(CB)=n，∠HAB=∠GCB．
∴AH=nCG，∠HAB+∠AGC=∠GCB+∠AGC=90°．
∴∠ANC=90°．
∴AH⊥CG．