已知f(x)是定义在R上的函数,且f(x)+f(-1﹚=0,当x>0时,f(x)=2x-x2 求(1)当x属于[1,+∞)时,g(x)=f(x);g(x)=f(x);当x属于(﹣∞,1)时,g(x)=x2﹣mx+2m﹣3,g(x)在R上单调递减,求m取值范围

Question

已知f(x)是定义在R上的函数,且f(x)+f(-1﹚=0,当x>0时,f(x)=2x-x2 求(1)当x属于[1,+∞)时,g(x)=f(x);
g(x)=f(x);当x属于(﹣∞,1)时,g(x)=x2﹣mx+2m﹣3,g(x)在R上单调递减,求m取值范围

Answer 1

当x≥1时,g(x)=f(x)=2x-x²
此抛物线对称轴为x=1,开口向下
∴当x≥1时,g(x)在[1,+∞)上单调递减,在x=1时有最大值g(1)=1
当x＜1时,g(x)=x²﹣mx+2m﹣3
此抛物线对称轴为x=m/2,开口向上
要使g(x)在(-∞,1)上单调递减,则对称轴x=m/2 ≥ 1, 即m≥2
且此时的最小值g(1)=m-2 ≥ 1  (左半部分的最小值要比右半部分的最大值要大,才能保证单调递减), 即：m≥3
∴m≥3