已知数列{an}的通项an=n，对每个正整数k，在ak与ak+1之间插入3k-1个2（如在a1与a2之间插入30个2，a2与a3之间插入31个2，a3与a4之间插入32个2，…，依此类推），得到一个新的数列{dn}，设Sn是数列

Question

已知数列{a_n}  的通项a_n=n，对每个正整数k，在a_k与a_k+1之间插入3^k-1个2（如在a₁与a₂之间插入3⁰个2，a₂与a₃之间插入3¹个2，a₃与a₄之间插入3²个2，…，依此类推），得到一个新的数列{d_n}，设S_n是数列{d_n}的前n项和，则S₁₂₀=______．

Answer 1

依题意，设d₁₂₀在数列{a_n}中处于a_k与a_k+1之间，即处于k和k+1之间，
由1+3+3²+3³+3^k-1+（k+1）≥120 得 k≥5
k=5时，数列{d_n}共有127项
∴d₁₂₀在数列中处于5与6之间的第3^5-1-6=75个2处
∴S₁₂₀=1+2+3+4+5+2×（1+3+3²+3³+75）=245
故答案为245