设矩阵A=32−2−k−1k42−3．问当k为何值时，存在可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵？并求出P和相应的对角矩阵．

Question

设矩阵A=

3	2    −2
−k	−1   k
4	2     −3

．问当k为何值时，存在可逆矩阵P，使得P^-1AP为对角矩阵？并求出P和相应的对角矩阵．

Answer 1

由

.

λE−A

.

＝

.

λ−3 k	−2 λ+1	2 −k
−4	−2	λ+3

.

=

.

λ−1 0	−2 λ+1	2 −k
0	0	λ+1

.

=（λ+1）²（λ-1）
知，A的特征值λ₁=λ₂=-1，λ₃=1
由此设知，对应二重特征根λ₁=λ₂=-1，必有两个线性无关的特征向量，
因此有r（λ₁E-A）=1
当λ₁=λ₂=-1时，
λ₁-E=

.

−4 k	−2 0	2 −k
−4	−2	2

.

由r（λ₁E-A）=1知k=0，此时有
-E-A=

.

−4 0	−2 0	−2 0
0	0	0

.

对应的特征向量为α1＝(−1，2，2)T，α2＝(1，0，2)T
对于λ₃=1，有
E−A＝

.

−2 k	−2 2	2 −k
−4	−2	4

.

→

1 0	0 1	−1 0
0	0	0

对应的特征向量为：α3＝(1，0，1)T
因此，令P＝

−1 2	1 0	1 0
0	2	1

，则有P^-1AP=

−1 0	0 −1	0 0
0	0	1

故答案为：k=0，矩阵P＝

−1 2	1 0	1 0
0	2	1

，对角矩阵

−1 0	0 −1	0 0
0	0	1