如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=a（x-1）（x-5）与x轴交于B、C两点，与y轴交于点A（0，4），抛物线的对称轴l与x轴相交于点M．（1）则a=；该抛物线的对称轴为；（2）连接AC

Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=a（x-1）（x-5）与x轴交于B、C两点，与y轴交于点A（0，4），抛物线的对称轴l与x轴相交于点M．

（1）则a=___；该抛物线的对称轴为___；
（2）连接AC，在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积为14？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设P（m，n）是抛物线上的一点（m、n为正整数），且它位于对称轴的右侧．若以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边的长度是四个连续的正整数，求点P的坐标．

Answer 1

（1）把x=0，y=4代入y=a（x-1）（x-5），
可得a×（-1）×（-5）=4，
解得a=(4)/(5)；
∵B、C两点的坐标分别是（1，0）、（5，0），
∴该抛物线的对称轴为x=（5+1）÷2=3，
即该抛物线的对称轴为x=3．

（2）如图1，过点N作NG∥y轴交AC于G，，
抛物线y=(4)/(5)（x-1）（x-5）=(4)/(5)x²-(24)/(5)x+4，
由点A（0，4）和点C（5，0），可得直线AC的解析式为：y=-(4)/(5)x+4，
设N点的横坐标是t，则此时点N（t，(4)/(5)t²-(24)/(5)t+4）（0<t<5），
把x=t代入y=-(4)/(5)x+4，
可得G（t，-(4)/(5)t+4），
此时NG=-(4)/(5)t+4-（(4)/(5)t²-(24)/(5)t+4）=-(4)/(5)t²+4t，
∴S_△NAC=S_△ANG+S_△CGN=(1)/(2)×5×（-(4)/(5)t²+4t）=-2t²+10t=-2(t-(5)/(2))2+(25)/(2)，
∴当t=(5)/(2)时，△NAC面积的最大值为：(25)/(2)<14，
∴在直线AC下方的抛物线上不存在一点N，使△NAC的面积为14．

（3）如图2，，
以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边：AO=4，OM=3，
又∵点P的坐标中x>5，
∴MP>2，AP>2，
∴以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，
∴四条边的长只能是3、4、5、6一种情况．
在Rt△AOM中，AM=√(OA2+OM2)=5，
∵抛物线的对称轴过点M，
∴在抛物线x>5的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5，
即PM=5，此时点P横坐标为6，即AP=6，
∴以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边的长是3、4、5、6成立，
即P（6，4）．
故答案为：(4)/(5)、x=3．