代数的公因式问题设等式f（x）=q（x）g(x)+r(x)成立那么f(x),g(x)和g(x),r(x)有相同的公因式为什么?呢

Question

代数的公因式问题
设等式 f（x）=q（x）g(x)+r(x)成立
那么f(x),g(x)和g(x),r(x)有相同的公因式
为什么?呢

Answer 1

设h(x)是f(x),g(x)的公因式,则f(x)=f1(x)h(x),g(x)=g1(x)h(x).
由 f（x）=q（x）g(x)+r(x),得
r(x)= f（x）-q（x）g(x)=f1(x)h(x)-q(x)g1(x)h(x)=[f1(x)-q(x)g1(x)]h(x)
也就是说r(x)也有h(x)这个因式,所以h(x)既是f(x),g(x)的公因式,也是g(x),r(x)的公因式,注意到上述h(x)可以是f(x),g(x)的任意公因式,所以f(x),g(x)和g(x),r(x)有相同的公因式.
证毕.