设M=max√(P^2+Q^2),P(x,y),Q(x,y),证明|∫Pdx+Qdy|

Question

设M=max√(P^2+Q^2),P(x,y),Q(x,y),证明|∫Pdx+Qdy|

Answer 1

由两类曲线积分之间的关系,
∫Pdx+Qdy=∫(Pcosα+Qcosβ)ds
Pcosα+Qcosβ
=(P,Q)·(cosα,cosβ) 两向量点乘
=|(P,Q)|*|(cosα,cosβ)|*cosθ 其中θ为(P,Q)与(cosα,cosβ)的夹角.
由|(cosα,cosβ)|=1
=|(P,Q)|cosθ
≤|(P,Q)|
=√(P²+Q²)
因此：左边=∫Pdx+Qdy=∫(Pcosα+Qcosβ)ds
=∫|(P,Q)|cosθds≤∫|(P,Q)|ds≤∫ Mds=Ms=右边