直线x+y+b=0x+ay-z-3=0在平面1上,平面与曲面z=x^2+y^2相切于点（1,-2,5）求a,b的值

Question

直线x+y+b=0 x+ay-z-3=0在平面1上,平面与曲面z=x^2+y^2相切于点（1,-2,5）求a,b的值

Answer 1

直线未必在切点上.
设曲面方程F（x,y,z)=x^2+y^2-z,
偏导数F'x=2x,
F'y=2y,
F'z=-1,
在切点（1,-2,5）时,
F'x=2,
F'y=-4,
F'z=-1,
在点（1,-2,5）处的切平面方程为：2（x-1)+(-4)(y+2)-(z-5)=0,
即：2x-4y-z-5=0,
则切平面的法向量n1=(2,-4,-1),
直线是两平面x+y+b=0,x+ay-z-3=0的公共交线,
设直线的方向向量为n2,两平面的法向量为n3,n4,
n3=(1,1,0),
n4=(1,a,-1),
n2=n3×n4,
|i j k|
n2=|1 1 0|
|1 a -1|
=-i+0+ak-k-0+j
=-i+j+(a-1)k,
n2=(-1,1,a-1),
因直线在切平面上,
∴切平面的法向量n1⊥n2,
∴n1·n2=0,
n1=(2,-4,-1),
2*(-1)+(-4)*1+(-1)*(a-1)=0,
∴a=-5,
在直线上任取一点M,令x=0,y=-b,z=-ab-3=5b-3,
M(0,-b,5b-3),
M在切平面上,代入切平面方程,2*0+4b-5b+3-5=0,
b=-2,
∴a=-5,b=-2.