设实数x，y，z满足x+y+z=0，且（x-y）2+（y-z）2+（z-x）2≤2，求x的最大值和最小值．

Question

设实数x，y，z满足x+y+z=0，且（x-y）²+（y-z）²+（z-x）²≤2，求x的最大值和最小值．

Answer 1

∵实数x，y，z满足x+y+z=0，
∴z=-x-y，
将z=-x-y代入（x-y）²+（y-z）²+（z-x）²≤2中，
化简得3y²+3xy+3x²-1≤0，
∵x，y，z为实数，
∴△=9x²-12（3x²-1）≥0，
∴−(2)/(3)≤x≤(2)/(3)，
当xmax＝(2)/(3)，此时y＝z＝−(1)/(3)，
当xmin＝−(2)/(3)，此时y＝z＝(1)/(3)．
∴x的最大值和最小值分别为(2)/(3)和-(2)/(3)．