如何证明曲面xy=z^2和x^2+y^2+z^2=9正交

Question

如何证明曲面xy=z^2和x^2+y^2+z^2=9正交

Answer 1

设F(x,y,z)=xy-z^2
G(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-9.
则球面S1的方程可表为:F(x,y,z)=0.
球面S2的方程可表为G(x,y,z)=0.
按定理知,在任意点(x,y,z)
S1的法向量为:
n1 = {F对x 的偏导数,F对y 的偏导数,F对z 的偏导数}= (y,x,-2z);
S2的法向量为:
n2 = {G对x 的偏导数,G对y 的偏导数,G对z 的偏导数}= (2x,2y,2z);
而n1与n2的数量积为:(n1).(n2)=2xy+2xy-4z²=4(xy-z²)=4F(x,y,z)=0.
即知,在它们的任意公共点(x,y,z),n1,n2垂直,即知两球面正交.