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已知∠MON,OA平分∠MON.(1)在图1中,若∠MON=120°,∠ABO=∠ACO=90°,求证:OB+OC=OA;(2)在图2中,若∠MON=120°,∠ABO+∠ACO=180°,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不
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已知∠MON,OA平分∠MON.
(1)在图1中,若∠MON=120°,∠ABO=∠ACO=90°,求证:OB+OC=OA;
(2)在图2中,若∠MON=120°,∠ABO+∠ACO=180°,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
(3)在图3中,若∠MON=120°,∠ABC=60°,试判断△ABC的形状,并说明理由.
(1)在图1中,若∠MON=120°,∠ABO=∠ACO=90°,求证:OB+OC=OA;
(2)在图2中,若∠MON=120°,∠ABO+∠ACO=180°,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
(3)在图3中,若∠MON=120°,∠ABC=60°,试判断△ABC的形状,并说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵∠MON=120°,OA平分∠MON,AB⊥OM,AC⊥ON,
∴∠AOM=∠AON=60°,AB=AC,
在Rt△AOB和Rt△AOC中,∠CAO=∠BAO=30°,
∴OB=OC=
OA,
则OB+OC=OA;
(2)过A作AD⊥OM,AE⊥ON,
∵OA平分∠MON,∠MON=120°,
∴AD=AE,∠AOM=∠AON=60°,
在Rt△AOD和Rt△AOE中,∠DAO=∠EAO=30°,
∴OD=OE=
OA,
∴OD+OE=OA,
∵∠ABD+∠ABO=180°,∠ABO+∠ACO=180°,
∴∠ABD=∠ACO,
在△ABD和△ACE中,
,
∴△ABD≌△ACE(AAS),
∴BD=CE,
则OB+OC=OB+OE+EC=OB+OE+BD=OD+OE=OA;
(3)在OM上取点D,使OD=OA,在AD上取点E,使OB=EA,
∵OA平分∠MON,∠MON=120°,
∴∠MOA=60°,
∴△AOD为正三角形,
∴OD=DA,∠OAD=∠ODA=60°,
∵OB=AE,
∴AD-AE=OD-OB,即DB=DE,
∴△BDE为等边三角形,
∴∠DEB=∠DBE=60°,
∴∠AEB=∠BOC=120°,
∵∠ABC=60°,
∴∠EAB+∠EBA=60°,∠EBA+∠OBC=60°,
∴∠EAB=∠OBC,
在△AEB和△BOC中,
,
∴△AEB≌△BOC(ASA),
∴AB=BC,
则△ABC为正三角形.
∴∠AOM=∠AON=60°,AB=AC,
在Rt△AOB和Rt△AOC中,∠CAO=∠BAO=30°,
∴OB=OC=
1 |
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则OB+OC=OA;
(2)过A作AD⊥OM,AE⊥ON,
∵OA平分∠MON,∠MON=120°,
∴AD=AE,∠AOM=∠AON=60°,
在Rt△AOD和Rt△AOE中,∠DAO=∠EAO=30°,
∴OD=OE=
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∴OD+OE=OA,
∵∠ABD+∠ABO=180°,∠ABO+∠ACO=180°,
∴∠ABD=∠ACO,
在△ABD和△ACE中,
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∴△ABD≌△ACE(AAS),
∴BD=CE,
则OB+OC=OB+OE+EC=OB+OE+BD=OD+OE=OA;
(3)在OM上取点D,使OD=OA,在AD上取点E,使OB=EA,
∵OA平分∠MON,∠MON=120°,
∴∠MOA=60°,
∴△AOD为正三角形,
∴OD=DA,∠OAD=∠ODA=60°,
∵OB=AE,
∴AD-AE=OD-OB,即DB=DE,
∴△BDE为等边三角形,
∴∠DEB=∠DBE=60°,
∴∠AEB=∠BOC=120°,
∵∠ABC=60°,
∴∠EAB+∠EBA=60°,∠EBA+∠OBC=60°,
∴∠EAB=∠OBC,
在△AEB和△BOC中,
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∴△AEB≌△BOC(ASA),
∴AB=BC,
则△ABC为正三角形.
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