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设f（x）连续，φ(x)＝∫10f(xt)dt，且limx→0f(x)x＝A（A为常数），求φ′（x）并讨论φ′（x）在x=0处的连续性．
题目详情
设f（x）连续，φ(x)＝
f(xt)dt，且
＝A（A为常数），求φ′（x）并讨论φ′（x）在x=0处的连续性．
| ∫ | 1 0 |
| lim |
| x→0 |
| f(x) |
| x |
▼优质解答
答案和解析
∵φ(x)
f(xt)dt
f(u)du，
∴φ′(x)＝
−
（x≠0），
又由f（x）连续且
＝A（A为常数），
得：f（0）=0，f′（0）=A，
再在φ(x)
f(xt)dt中，令x=0，得：φ（0）=0，
于是，
φ′(0)＝
＝
=
＝
，
从而：
φ′(x)＝
，
又
φ′(x)＝
[
−
]=
−
＝A−
=A−
A＝
=φ′（0）
∴φ′（x）在x=0处连续
∵φ(x)
| ＝∫ | 1 0 |
| 令u＝xt |
. |
| 1 |
| x |
| ∫ | x 0 |
∴φ′(x)＝
| f(x) |
| x |
| ||
| x2 |
又由f（x）连续且
| lim |
| x→0 |
| f(x) |
| x |
得：f（0）=0，f′（0）=A，
再在φ(x)
| ＝∫ | 1 0 |
于是，
φ′(0)＝
| lim |
| x→0 |
| φ(x) |
| x |
| lim |
| x→0 |
| ||
| x2 |
| lim |
| x→0 |
| f(x) |
| 2x |
| A |
| 2 |
从而：
φ′(x)＝
|
又
| lim |
| x→0 |
| lim |
| x→0 |
| f(x) |
| x |
| ||
| x2 |
| lim |
| x→0 |
| f(x) |
| x |
| lim |
| x→0 |
| ||
| x2 |
| lim |
| x→0 |
| f(x) |
| 2x |
| 1 |
| 2 |
| A |
| 2 |
∴φ′（x）在x=0处连续
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