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设f(x)连续,φ(x)=∫10f(xt)dt,且limx→0f(x)x=A(A为常数),求φ′(x)并讨论φ′(x)在x=0处的连续性.
题目详情
设f(x)连续,φ(x)=
f(xt)dt,且
=A(A为常数),求φ′(x)并讨论φ′(x)在x=0处的连续性.
∫ | 1 0 |
lim |
x→0 |
f(x) |
x |
▼优质解答
答案和解析
∵φ(x)
f(xt)dt
f(u)du,
∴φ′(x)=
−
(x≠0),
又由f(x)连续且
=A(A为常数),
得:f(0)=0,f′(0)=A,
再在φ(x)
f(xt)dt中,令x=0,得:φ(0)=0,
于是,
φ′(0)=
=
=
=
,
从而:
φ′(x)=
,
又
φ′(x)=
[
−
]=
−
=A−
=A−
A=
=φ′(0)
∴φ′(x)在x=0处连续
∵φ(x)
=∫ | 1 0 |
令u=xt |
. |
1 |
x |
∫ | x 0 |
∴φ′(x)=
f(x) |
x |
| ||
x2 |
又由f(x)连续且
lim |
x→0 |
f(x) |
x |
得:f(0)=0,f′(0)=A,
再在φ(x)
=∫ | 1 0 |
于是,
φ′(0)=
lim |
x→0 |
φ(x) |
x |
lim |
x→0 |
| ||
x2 |
lim |
x→0 |
f(x) |
2x |
A |
2 |
从而:
φ′(x)=
|
又
lim |
x→0 |
lim |
x→0 |
f(x) |
x |
| ||
x2 |
lim |
x→0 |
f(x) |
x |
lim |
x→0 |
| ||
x2 |
lim |
x→0 |
f(x) |
2x |
1 |
2 |
A |
2 |
∴φ′(x)在x=0处连续
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