高数2525设f（x）=e^xln(1+x)+sinx+ax^2+bx+c,f(x)=o(x^2),求abc,并求x→0时f（x）的无穷小阶数,指出其无穷小主部

Question

高数2525
设f（x）=e^xln(1+x)+sinx+ax^2+bx+c,f(x)=o(x^2),求a b c,并求x→0时f（x）的无穷小阶数,指出其无穷小主部

Answer 1

因为f（x）=e^xln(1+x)+sinx+ax^2+bx+c,f(x)=o(x^2),
所以
lim(x->0)(e^xln(1+x)+sinx+ax^2+bx+c)/x^2=0
即分子极限=0
x=0代入,得
c=0
左边=lim(x->0)(e^xln(1+x)+e^x/(1+x)+cosx+2ax+b)/2x=0
即分子极限=0
x=0代入,得
1+1+b=0
b=-2
原式=lim(x->0)(e^xln(1+x)+2e^x/(1+x)-e^x/(1+x)^2-sinx+2a)/2
=0
即分子极限=0
所以
x=0代入,得
2-1-0+2a=0
2a=-1
a=-1/2
即
a=-1/2,b=-2,c=0
f(x)=e^xln(1+x)+sinx-1/2x^2-2x
=(1+x+x^2/2!+...)(x-x^2/2+x^3/3+...)+(x-x^3/3!+...)-1/2x^2-2x
=x-x^2/2+x^3/3+x^2-x^3/2+x^3/2!+x-x^3/3!-1/2x^2-2x+0(x^3)
=x^3/6+0(x^3)
所以
f（x）的无穷小阶数是3阶；主部为x^3/6.