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设函数f(x)连续,且limx→0f(x)−sinxx=a(a为常数),又F(x)=∫10f(xy)dy,求F′(x)并讨论F′(x)的连续性.
题目详情
设函数f(x)连续,且
=a(a为常数),又F(x)=
f (xy)dy,求F′(x)并讨论F′(x)的连续性.
lim |
x→0 |
f(x)−sinx |
x |
∫ | 1 0 |
▼优质解答
答案和解析
因为
=a(a为常数),
所以
f(x)−sinx=0,
故 f(0)=
f(x)=0.
当x=0时,
F(x)=
f(xy)dy
=
f(0)dy
=0;
∀x≠0,令t=xy,则dt=xdy,
从而,
dy=
,
F(x)=
f(xy)dy
=
dt
=
f(t)dt,
故 F(x)=
.
因为f(x)连续,所以
F(x)=
f(t)dt
=
=
f(x)
=f(0)=0.
从而,F(0)=
lim |
x→0 |
f(x)−sinx |
x |
所以
lim |
x→0 |
故 f(0)=
lim |
x→0 |
当x=0时,
F(x)=
∫ | 1 0 |
=
∫ | 1 0 |
=0;
∀x≠0,令t=xy,则dt=xdy,
从而,
dy=
dt |
x |
F(x)=
∫ | 1 0 |
=
∫ | x 0 |
f(t) |
x |
=
1 |
x |
∫ | x 0 |
故 F(x)=
|
因为f(x)连续,所以
lim |
x→0 |
lim |
x→0 |
1 |
x |
∫ | x 0 |
=
lim |
x→0 |
(
| ||
x′ |
=
lim |
x→0 |
=f(0)=0.
从而,F(0)=
lim |
x→0 | <
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