使不等式∫x1sinttdt＞lnx成立的x的范围是（）A．（0，1）B．(1，π2)C．(π2，π)D．（π，+∞）

Question

使不等式

∫

x 1

(sint)/(t)dt＞lnx成立的x的范围是 （　　）

A．（0，1）
B．(1，(π)/(2))
C．((π)/(2)，π)
D．（π，+∞）

Answer 1

原问题可转化为求：
f(x)＝

∫

x 1

(sint)/(t)dt−lnx＝

∫

x 1

(sint)/(t)dt−

∫

x 1

(1)/(t)dt=

∫

x 1

(sint−1)/(t)dt＝

∫

1 x

(1−sint)/(t)dt＞0成立时x的取值范围，
而(1−sint)/(t)＞0，t＞0且t≠kπ，
对于选项A：当x∈（0，1）时，f（x）＞0；
对于选项B：当x∈(0，(π)/(2))时，f（x）＜0；
对于选项C：当x∈((π)/(2)，π)时，f（x）＜0；
对于选项D：当x∈（π，+∞）时，f（x）≤0；
故选：A．