已知微分方程(y'')*[(1+x^2)]^2=y；通过变换y=u(t)sect;x=tant,将方程化为u关于t的方程我怎么化都不对.答案是u''(t)=0

Question

已知微分方程(y'')*[(1+x^2)]^2=y；通过变换y=u(t)sect ;x=tant,将方程化为u关于t的方程
我怎么化都不对.答案是u''(t)=0

Answer 1

首先y=u(t)sect ,x=tant,
则dy=u'sect+usect*tgt,dx=sect*sect
则dy/dx=u'cost+usint
令v=dy/dx=u'cost+usint
则dv=u''cost-u'sint+u'sint+ucost=(u''+u)cost
则y''(关于x)=dv/dx=(u''+u)cost/(sect*sect)=(u''+u)(cost)^3
所以有(y'')*[(1+x^2)]^2=y
得到：(u''+u)*(cost)^3*(sect)^4=usect
所以u''+u=u
所以u''=0(关于t的二次导数)
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